從歐幾里得（2200年前）以來，數學家一般都是從某些稱為“公理”的陳述出發，推匯出各種有用的結論。

從某種意義上說，這幾乎就像是一種必須遵守兩條規則的遊戲。第一，公理應當儘量少。如果你能從某一條公理推匯出另一條公理，所麼，所推匯出的那條公理就不能作為公理。

第二，公理必須是沒有內在矛盾的。絕不允許從某一公理推匯出兩個相互矛盾的結論。

任何一本中學幾何課本都要先列出一組公理：透過兩點只能作一條直線；整體等於各個部分之和，等等。在很長一段時間內，人們都把歐幾里得的公理看作是唯一可用來建立沒有內在矛盾的幾何學的公理，從而把這些公理看作是“真公理”。

但是，到了十九世紀，有人證明了歐幾里得的公理是可以用某些方式來加以改變的，因而可以建立另外一種不同的幾何學，即“非歐幾里得幾何學”。這兩種幾何學雖然各不相同，但每一種幾何學都不具有內在矛盾。從此以後，人們如果要問哪一種幾何學是真幾何學，就沒有意義了。如果要問，就只能問哪一種幾何學更有用些。

事實上，我們可以用許多組公理來建立幾種各不相同但又各自並不具有內在矛盾的數學體系。

在任何一種這樣的數學體系中，你都必定不可能根據它的公理推匯出既是如此又非如此的結論，因為如果這樣的話，這個數學體系就不可能不具有內在矛盾，就會遭到淘汰。

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