日期：2015-01-03 10:28:42

屬於星星的幾何學

下面，讓我們跟隨兩位勇敢的先行者，藉助兩個神奇的三角形，鑽入違反常理的非歐樂園吧。結識幾何學之初，相信每個人都從歐幾里得那本比《啟示錄》還要古老的典籍中讀到過一條真理：“三角形的內角之和等於180°”。在任何平鋪的白紙上，無論畫出多少直角、銳角、鈍角三角形，測量其內角之和必定不多不少恰好等於180°；還可以把紙捲起來，彎成粗筒、細筒、三角錐……一切你能夠開發的奇形怪狀，畫在紙面的三角形並不會“掉”下來，也就是說，各內角之和依然保持180°。

但世上的紙，可不一定都是平展的。把一個皮球剪開剖成兩半，取其中任意一塊，不論你怎樣拉扯半球的外表面都不可能緊緊與桌面相貼合——中間總是要凸起一部分。再把一遊泳圈拿來，這回需要動三刀：兩刀截下其中一段，再沿其外圈剪開，你將得到一張馬鞍形的皮膜，把它放到桌面上，不論怎樣按壓——兩端總是高高翹起。在這些特殊的面上畫三角形，結果會怎樣呢？

圖1為球體表面的三角形，與平面上的哥們兒比起來，它長胖了。此時，若測量其內角之和，你將得到一大於180°的數值！不信？腳下就有個生動的例證：站在地球南極極點，沿著經線往北走1千米，轉身朝西走1千米，再次轉身，沿著另一根經線往南走1千米，低頭一看——你又回到了南極點上。三條路線首尾相連，構成一閉合圖形：“胖三角”，而你從南往西再由西向北，每個轉角都是方方正正的90°，加起來剛好180°，剩下那個夾角不論多大，添上去都妥妥地超越了180°。再看圖3，馬鞍表面的三角形則顯得有些瘦弱，經過測算可知：其內角之和小於180°。

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